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TEORÍA Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS:  CAMPOS Y VECTORES: Rotacional/Laplaciano

1.6.3 Rotacional.

En este caso el operador, tiene como argumento a una función vectorial y produce como resultado, a otra función vectorial. Mediante la siguiente expresión, se indica el rotacional de la función vectorial ,

 
     
 

              (45)

utilizando el concepto de integral de linea, podemos definir a la componente en la dirección û del rotacional, de la siguiente manera,


        (46)

esta expresión nos dice lo siguiente: En un determinado punto, la omponente en la dirección û de la función rotacional de E, es igual al limite, de la circuitación de E a lo largo del contorno cerrado C0 ( C0 esta en un plano perpendicular a û) dividido por el área Su (Su es una superficie encerrada por el contorno C0 y que pasa por el punto considerado), cuando Su tiende a cero. 

 
   

Debe aclararse que el sentido positivo para recorrer la curva C0 al resolver el integral de linea y el sentido tomado como positivo en la dirección û , deben obedecer a la regla de la mano derecha (o del tornillo), esto es, si colocáramos el dedo índice de la mano derecha a lo largo de C0 y en la dirección positiva de recorrido, el dedo pulgar (por supuesto de la misma mano derecha), dirá cual es el sentido positivo en la dirección û para la componente del rotacional.


Consideremos nuevamente como ejemplo el campo vectorial constituido por la velocidad del agua que se desplaza en un canal, solo que esta vez supongamos que la velocidad varia linealmente con, y solo con la profundidad, digamos que sea cero en el fondo del canal y máxima en la superficie. Sin entrar en ulteriores detalles supongamos que la fuerza que puede ejercer el agua sobre un obstáculo sea proporcional a la velocidad.

Imaginemos ahora de tener una rueda delgada que uno la pueda sostener por su eje y que en el perímetro de la rueda coloquemos equiespaciadas pequeñas aspas, cada una colocada perpendicularmente al plano de la rueda.

Si introducimos en el canal este dispositivo con el eje colocado en posición vertical, la presión en ambos lados de la rueda será igual y por lo tanto la rueda no giraría, seria equivalente a pensar que la integral de linea, de la fuerza ejercida por el agua, a lo largo del perímetro es cero. En otras palabras, la componente vertical del rotacional de la velocidad seria cero.

Si introducimos la rueda con su eje horizontal y en dirección de la velocidad, el agua pasaría tangencialmente por las aspas y no las presionaría. En términos matemáticos, la fuerza seria perpendicular al contorno y lógicamente la circuitación seria cero. En este caso la componente paralela a la velocidad, del rotacional de la fuerza, seria cero.

Si ahora introducimos la rueda con su eje horizontal y en dirección perpendicular a la velocidad, el agua presionaría mas a las aspas superiores que a las inferiores, ya que en la parte superior la velocidad del agua es mayor. En este caso la rueda si comenzaría a girar, la circuitación seria diferente de cero y si tendríamos una componente del rotacional en esta dirección diferente de cero.

En los tres sistema de coordenadas que hemos utilizado, el rotacional esta dada por las siguientes expresiones,

Rectangulares:

        (47)


o también, utilizando las reglas para calcular un determinante, se puede escribir,


        (48)


Cilíndricas:

         (49)



Esféricas:

        (50)



1.6.4 Laplaciano.

Un operador doble de mucha utilidad es el Laplaciano. Nos referiremos aquí solamente al Laplaciano escalar, el cual opera sobre una función escalar y produce otra función escalar. Este operador, se indica y se define como sigue,

      (51)

En los diferentes sistemas, tendremos las siguientes expresiones para el Laplaciano escalar,



Rectangulares:

      (52)


Cilíndricas:

    (53)


Esféricas:

    (54)

 

 




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