2.3 Teorema de Stokes.

Veamos ahora un teorema que constituye una herramienta importantísima en el electromagnetismo, tanto en su desarrollo teórico, como en la solución de problemas prácticos.

La definición que teníamos en la expresión (46) de rotacional, podemos escribirla nuevamente de la siguiente manera,

      (91)

donde el producto escalar que aparece en el primer término, nos proporciona la componente del rotacional perpendicular al elemento de área dS y el integral de línea que aparece en el segundo miembro, se calcula a lo largo del contorno "C" del elemento de área dS.

Escribamos la expresión anterior para el elemento de área dSa de la figura [17], descomponiendo la integral de línea en cuatro operaciones,

        (92)

Fig 17. Circuitaciones en el Teorema de Stokes.

también escribámosla para el elemento de área dS_b, siempre de la figura [17] y también en este caso, descomponiendo la integral de línea en cuatro operaciones,

        (93)

podemos seguir escribiendo expresiones como las anteriores, para cada uno de los elementos de área que componen la superficie S0 y luego sumar todos los primeros miembros y todos los segundos miembros.

La suma de los primeros miembros, nos proporciona claramente la siguiente integral de superficie,

        (94)

por otra parte, al sumar todos los segundos miembros, debemos observar que muchos términos se anulan. Por ejemplo, al sumar la (92) y la (93) se anulan dos términos, ya que,

        (95)

lo mismo sucederá para todos los términos que provengan de recorridos internos, debido a que se anularan con otro termino proveniente de otra circuitación que produce el mismo producto escalar, pero con signo opuesto.

Solamente los productos escalares realizados a lo largo del contorno C₀ no se anularan con otros, en otras palabras, la suma de todos los segundos miembros de las expresiones como la (92) y la (93), dará como resultado a la siguiente integral de linea,

        (96)

tenemos entonces que las expresiones (94) y (96), son iguales, es decir,

        (97)

donde C₀ es el contorno que encierra a la superficie S₀. Este resultado, es conocido como el Teorema de Stokes, el mismo permite la conversión de un integral de linea en un integral de superficie y viceversa.