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TEORÍA Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS: ELECTROSTÁTICA: TEOREMA DE LA UNICIDAD | ||||||||||||
2.11 Teorema de Unicidad.
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por otra parte, tenemos que,
siendo la divergencia del primer miembro igual a cero, ya que las divergencias en el segundo miembro son iguales, esto es,
Utilizando una identidad vectorial, podemos escribir,
integremos ahora la anterior expresión en el volumen t encerrado por una superficie esférica S1 cuyo radio tienda al infinito y el conjunto de las superficies de los conductores que globalmente llamaremos, S2. Tendremos,
aplicando el teorema de la divergencia al primer termino y teniendo en cuenta las superficies que encierran a t, será,
El primer termino del segundo miembro tiende a cero, ya que el potencial
decrece
por lo menos según 1/r, el desplazamiento lo hace por lo menos según 1/r2,
mientras
que la superficie crece según r2. Esto significa que el integral decrece por
lo menos
según 1/r.
colocando ahora a D3 y al gradiente de V3, en función de E3, tendremos,
para que esta integral sea igual a cero, siendo su integrando no negativo, deberá cumplirse que,
esto significa que V3 es una constante, esto es que V1 y V2 pueden diferir solo en una constante. Pero esta constante puede evaluarse en la superficie de los conductores, donde V1 = V2. Por lo tanto concluimos que V1 es igual a V2 en toda la región y en consecuencia existe una única solución para el potencial. |
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