2.11 Teorema de Unicidad.

Esta es una herramienta de mucha utilidad, ya que permite el empleo de muchas vías para la determinación de los potenciales en un región, entre ellas el método de imágenes que veremos mas adelante.

El teorema establece que si una función potencial satisface a la ecuación de Poisson en toda la región y cumple con las condiciones de borde en la superficie de los conductores, esta función es única.

Para demostrarlo, supongamos que existen dos funciones potenciales en la región, V1 y V2, con sus correspondientes campos eléctricos E1, E2 y desplazamientos D1, D2. Consideremos también a la función diferencia V3 = V2 - V1, con sus correspondientes campos E3 y D3.

Si ambas funciones cumplen con la ecuación de Poisson, serán tales que,

        (191)

por otra parte, tenemos que,

       (192)

siendo la divergencia del primer miembro igual a cero, ya que las divergencias en el segundo miembro son iguales, esto es,

        (193)

Utilizando una identidad vectorial, podemos escribir,

        (194)

integremos ahora la anterior expresión en el volumen t encerrado por una superficie esférica S1 cuyo radio tienda al infinito y el conjunto de las superficies de los conductores que globalmente llamaremos, S2. Tendremos,

        (195)

aplicando el teorema de la divergencia al primer termino y teniendo en cuenta las superficies que encierran a t, será,

        (196)

El primer termino del segundo miembro tiende a cero, ya que el potencial decrece por lo menos según 1/r, el desplazamiento lo hace por lo menos según 1/r², mientras que la superficie crece según r². Esto significa que el integral decrece por lo menos según 1/r.

Por otra parte el segundo termino del segundo miembro, es cero también, ya que en la superficie de los conductores V1 y V2, deben ser iguales a los potenciales de los conductores, por lo tanto V3 allí debe ser igual a cero.

Tenemos entonces que el primer miembro de la (195) es cero. También habíamos deducido en la (193), que la divergencia de D3 era igual a cero, por lo tanto, el primer termino del segundo miembro de la (195), es también igual a cero. Nos queda entonces que,

        (197)

colocando ahora a D3 y al gradiente de V3, en función de E3, tendremos,

        (198)

para que esta integral sea igual a cero, siendo su integrando no negativo, deberá cumplirse que,

        (199)

esto significa que V3 es una constante, esto es que V1 y V2 pueden diferir solo en una constante. Pero esta constante puede evaluarse en la superficie de los conductores, donde V1 = V2. Por lo tanto concluimos que V1 es igual a V2 en toda la región y en consecuencia existe una única solución para el potencial.