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  TEORÍA Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS:  ELECTROSTÁTICA: ENERGÍA POTENCIAL  
   

 

2.8 Energía potencial de una distribución de cargas.

Supongamos que se tengan N cargas puntuales, tal como se muestra en la figura [28] y se desee saber cuanta energía se puede obtener del conjunto. Para ello permitamos a la carga "i", alejarse hacia el infinito y veamos cuanto es el trabajo realizado por el campo eléctrico debido a las demás cargas. Este campo será,

 

 
 

 

      (162 a)

y la fuerza ejercida por las demás cargas sobre la carga "i",

      (162 b)

al desplazarse la carga "i" hacia el infinito, esta fuerza realizara el siguiente trabajo,

      (162 c)

la integral anterior, puede entrar en la sumatoria de la expresión (162 b) y cada término integrado en un sistema de coordenadas apropiado. El resultado será,

    (163)

ahora que sabemos el trabajo que realiza el campo cuando se retira una carga cualquiera "i", alejemos todas las cargas, una por una, comenzando por q1, al alejarla el conjunto perderá la siguiente energía,

    (164)

luego al alejar a la segunda y teniendo en cuenta que la carga q1 ya no esta, el conjunto de cargas cederá una energía igual a,

        (165)

de la penúltima carga, se obtendrá,

        (166)

y finalmente se aleja la última carga, de la cual no se obtiene energía ya que sobre ella no se ejerce ninguna fuerza,

        (167)

la energía total obtenida , es entonces,

        (168)

si a la expresión anterior, sustituimos los ceros que no se encuentren en la diagonal, por oportunos términos, obtendremos una expresión que será igual a 2W,

        (169)

ya que como puede notarse, se estarían duplicando los términos ya existentes. Este resultado es muy útil, ya que lo que se encuentra dentro de los paréntesis en la (168), a parte de una constante, no es otra cosa que los potenciales en los puntos donde se encuentran las cargas, debido a la presencia se las otras cargas. De manera que el resultado anterior, lo podemos re escribir de la siguiente manera,

    (170)

En el caso de una distribución continua de cargas, la sumatoria anterior se convierte en una integral y tendremos,

    (171)

donde V0, es un volumen que contiene a toda la distribución de cargas.

Una expresión parecida podemos escribir para la energía de una distribución superficial de cargas r,

    (172)

Un ejemplo sencillo de lo anterior , lo constituye un condensador de placas planas paralelas. Supongamos una de las placas a cero potencial y la otra a potencial Vc, sea la carga del condensador igual a Qc y , dado que el potencial es constante en toda la superficie de integración, el integral se reduce a la evaluación de carga total en la placa, esto es,

    (173)

un resultado, que ya conocíamos de la teoría de circuitos.

Fig 28. Conjunto de N cargas puntuales.

 
     
 



 

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