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  TEORÍA Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS:  ELECTROSTÁTICA: MÉTODO DE GAUSS  
   

 

2.6.1 Método de Gauss.

La expresión (139) puede utilizarse para determinar en forma muy sencilla, el campo eléctrico E producido por distribuciones de cargas que posean una adecuada simetría.

Para ilustrar el método veamos un ejemplo sencillo. Consideremos una carga Q0 distribuida uniformemente en un volumen esférico de radio R0, tal como se muestra en la figura (23) y determinemos el campo eléctrico fuera de la distribución.

 

 
 

 



Colocando un sistema de coordenadas esféricas en el centro de la distribución, consideremos una superficie esférica "Gaussiana" Sg de radio Rg, con Rg > R0. En esta superficie, será valida la Ley de Gauss y por lo tanto tendremos que,

      (140)

Ahora bien, dada la simetría del problema el campo eléctrico E debe tener en todos los puntos, la dirección de . Esta misma dirección, es la que tienen todos los elementos vectoriales de superficie dS sobre S0. Podemos entonces en el integrando de la (140), realizar la siguiente simplificación,

        (141)

Fig 23. Distribución uniforme de carga en r < R0.

esto es, el producto escalar lo hemos convertido en el producto de dos cantidades escalares, el módulo de E y el módulo de dS.

Por otra parte, también debido a la simetría de la distribución, en todos los puntos sobre la superficie Sg debemos tener un mismo valor del campo eléctrico. Si llamamos a este campo eléctrico E0, el mismo por ser constante, puede salir de la integral (141), y tendríamos que,

        (142)

de manera que el problema original se ha conducido a la evaluación de una superficie. Siendo esta la superficie de una esfera, tenemos entonces,

        (143)

despejando a E0 y colocándole la dirección del campo, obtenemos el resultado buscado,

        (144)

pero como Rg puede ser cualquier radio mayor a R0, el resultado se puede expresar en términos mas generales de la siguiente forma,

        (145)

En resumen, el método permite determinar un campo eléctrico, evaluando tan sólo una superficie. Cuando existe una simetría que permite los pasos (141) y (142), el método es aplicable, y cuando es así, por lo general es la vía más fácil para calcular el campo eléctrico.

 
     
 



 

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