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  TEORÍA Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS:  ELECTROSTÁTICA: LEY DE GAUSS  
   

 

2.6 Ley de Gauss.

Hagamos referencia a la figura [21], donde aparece una superficie cerrada S0 y dentro de la región encerrada por esta, una carga puntual "q". El campo eléctrico E producido por esta, habíamos visto que era,

        (127)

 

 
 

multipliquemos escalarmente la anterior expresión, por el vector diferencial de área, en la superficie S0, esto es,

        (128)

donde el producto escalar que aparece en el segundo miembro, puede interpretarse como la proyección del elemento diferencial de área sobre un plano perpendicular al vector , será entonces,

Fig 21. Carga q encerrada por una superficie S0.

        (129)

Ahora bien, en una circunferencia podíamos expresar un arco "dt" en metros, en función del ángulo subtenido dα en radianes y del radio r en metros de esta manera,

        (130)

siendo el ángulo máximo 2 α, para el cual corresponde un arco igual 2 π r.

De la misma manera podemos expresar un diferencial de área dS' sobre la superficie S' de una esfera, utilizando el concepto de ángulo sólido. El elemento de área seria igual a,

        (131)

siendo el ángulo sólido Ω máximo igual a 4 π, para el cual corresponde una superficie igual a 4 π r2.

Regresando a la (129), la podemos escribir ahora,

        (132)

e introduciendo esta última en la (128), tenemos,

        (133)

integremos ahora la expresión anterior, en toda la superficie S0, esto es para un ángulo sólido total igual a 4 π. Obtendremos,

        (134)

El razonamiento anterior puede extenderse a un grupo de cargas o a una distribución continua de cargas, de manera que en el segundo miembro aparecerá la totalidad de las cargas encerradas por S0.

Veamos que sucede ahora con el campo producido por cargas que se encuentren fuera de la superficie S0. En la figura (22) se muestra como debemos computar, por cada elemento de ángulo sólido, dos productos escalares, llamémoslos "a" y "b". Estos serán,

        (135)

y

        (136)

que en función del ángulo sólido, son,

Fig 22. Carga q fuera de la superficie S0.

      (137)

y

        (138)

donde el signo negativo de este último indica que se trata de un flujo entrante.

En las dos expresiones anteriores, vemos como las contribuciones al flujo total se anulan, esto es, el flujo debido a una carga externa, atraviesa dos veces a la superficie S0, una vez entrando y otra vez saliendo.

También aquí, podemos extender el razonamiento, a un grupo de cargas o a una distribución continua de cargas externa. La contribución al integral (120), será en todo caso nula.

De lo anterior concluimos entonces que, las cargas no encerradas por la superficie S0, no contribuyen al flujo total saliente de campo eléctrico E, sólo contribuirán a el las cargas encerradas por la superficie S0, tal como lo expresa la (134), esto es,

        (139)

donde Qenc, es la carga neta total encerrada por la superficie S0.

La anterior expresión es la que conocemos como forma integral de la Ley de Gauss. La misma nos dice que, el flujo saliente del campo eléctrico a través de una superficie cerrada S0, es igual a la carga neta total encerrada dividida por ε0.

 
     
 



 

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